数学月間の会

●　「黄金比のパズル」（図3）.pdf
●　「黄金比のパズル」（図4）.pdf

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■解答：

 

「ハトメ返し」（広い意味で）による解答をご紹介します．
複数個の解答が見つかっていますが，「ハトメ返し」による解答は現時点では１個だけです．
 

正５角形（小）と９個の色つき多角形を，図３のように「ハトメ（鳩目）」でつなぎます
（Ａの角とＡの角をつなぎ，．．．，Ｉの角とＩの角をつなぎます）．
すると，「ハトメ返し」により，図４のように正５角形（小）を背後へ隠せます．

■解説１：
 
解説１・２では，正５角形（大）に外接する円をＯとし，円Ｏの中心をＰとします．
 

上記の解答により，
　　?［正５角形（大）の面積］＝［正５角形（中）の面積］＋［正５角形（小）の面積］
つまり
　　?［正５角形（大）の辺の長さ］の２乗
　　＝［正５角形（中）の辺の長さ］の２乗＋［正５角形（小）の辺の長さ］の２乗
が分かります．
そして，この等式?を使えば，ユークリッド『原論』第１３巻・命題１０の等式
　　?［円Ｏに内接する正５角形の辺の長さ］の２乗
　　＝［円Ｏに内接する正６角形の辺の長さ］の２乗＋［円Ｏに内接する正１０角形の辺の長さ］の２乗
を示すことができます．
 

実際，図１を観察することで
　　?［円Ｏに内接する正５角形の辺の長さ］＝［正５角形（大）の辺の長さ］
　　?［円Ｏに内接する正６角形の辺の長さ］＝［円Ｏの半径の長さ］＝［正５角形（中）の辺の長さ］
　　?［円Ｏに内接する正１０角形の辺の長さ］＝［正５角形（小）の辺の長さ］
が分かり，等式?を等式?に書き換えることができます！
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■解説２：
 
点Ｐから正５角形（中）の頂点へ線分（長・中・短）を引きます．
点Ｐが正５角形（中）の対角線の交点なので，
　　?［黄金長方形の長い辺の長さ］＝［線分（中）の長さ］
　　?［黄金長方形の短い辺の長さ］＝［線分（短）の長さ］
となるような黄金長方形を作図できます（このことはよく知られています）．
 
さて，図１を観察する（線分を平行移動させる）ことにより，
　　?［線分（長）の長さ］＝［正５角形（大）の辺の長さ］
　　?［線分（中）の長さ］＝［正５角形（中）の辺の長さ］
　　?［線分（短）の長さ］＝［正５角形（小）の辺の長さ］
が分かります．
従って，等式?を等式
　　?［線分（長）の長さ］の２乗＝［線分（中）の長さ］の２乗＋［線分（短）の辺の長さ］の２乗
に書き換えることができます（この等式はほとんど知られていないようです）．
そして，この等式?を使えば，?，?となるような黄金長方形に対する等式
　　?［黄金長方形の対角線の長さ］＝［線分（長）の長さ］
を示すことができます！

■余談：

 

「黄金比のパズル」が完成するまでの経緯を，簡単に記しておきます．

 

事の発端は，小梁修氏が日本数学協会・会員制掲示板へ投稿した等式?でした．
小梁氏は等式?を，正５角形の作図法について考えていたときに，発見・証明したそうです．
 

小梁氏と私は，等式?をめぐって，掲示板で数年間（断続的に）議論しました．

その結果，等式?とユークリッドの等式?との関連が分かり，

等式?の「正５角形（３個）の面積を使う」新（？）証明ができました
（ユークリッドの証明も小梁氏の最初の証明も「面積を使わない」証明でした）．

 

その後小梁氏は，「正５角形（３個）の面積を使う」証明をもとにして，パズルを作りました．
そのパズルでは，遊びを通して，等式?の証明が自然に学べるようになっていました．
そのパズルに刺激を受けた私が，

証明よりも遊びに重点をおいたパズルを作ろう！　と試行錯誤した結果，

「黄金比のパズル」が完成したのでした．
 

なお，「黄金比のパズル」を作る過程でこだわったのは，以下の２点でした：
　　●正５角形（大）の多角形への分割において，正５角形（小）が分割されないようにすること
　　●正５角形（大）の多角形への分割を，「ハトメ返し」で解答可能な分割にすること

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「黄金比のパズル」に対するコメントをお待ちしております

（コメント欄か谷克彦氏（ＳＧＫ世話人）までお願いいたします）．

　

Kalantari教授は，girls campなど，子供向けのワークショップも米国で色々実施しています．子供でも美しいアートが作れます．
本年，来日されれば日本でのワークショップが実現するかもしれません．

 

お問い合わせは：　SGK世話人（谷）sgktani@gmail.com

黄金比の日にちなんで，宮永望（数楽分科会，理事）さんからの投稿です．

たいへん美しいパズルです．図をダウンロードしてぜひ挑戦ください．
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本日の８／１３（≒２／（√５＋１）＝（√５−１）／２）は「黄金比の日」です．
そこで，「黄金比のパズル」をご紹介します．

●　「黄金比のパズル」（図1）.pdf
●　「黄金比のパズル」（図2）.pdf

図１の中に，太線で描かれた３個の正５角形（大・中・小）があります．

正５角形（大）から正５角形（小）を取り除いた部分を，図２の９個の色つき多角形に分割します．

さて，これらの色つき多角形を組み換えて，正５角形（中）を完成させてください．

もちろん，「裏返し」や「はみ出し」や「重ね合わせ」は禁止します．

 

このパズルは，日本数学協会・会員制掲示板での小梁修氏との議論をもとにして，

宮永望氏が作成したものです．

このパズルには，ユークリッド『原論』第１３巻・命題１０の「黄金比の性質」が潜んでいる

とのことです（奥が深い）．

 

「黄金比のパズル」に対するコメント（解答・感想など）を，ＳＧＫ通信へお寄せください．

宮永氏による解答・解説は，本年の１３／８（来年の１／８）のＳＧＫ通信に掲載予定です．
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それまで解答募集中！連絡先（谷）：　sgktani@gmail.com

 

 

ご感想やコメントをお寄せください．

 

明日8/13は，黄金分割の日です．明日掲載する記事もご期待ください．

ピタゴラス数其の4.pdf

 

 

のぼさんのエッセイ”数学は科学じゃない？”をお届けします．

 

ここをクリック！⇒数学は科学じゃない？_のぼ.pdf

のぼさんの関わった科学学習図鑑では，科学技術の側からも，実験の側からも，数学は取り上げられなかったということです．ゼロの発見，ピタゴラスの定理，四色定理，...などが，カットされたそうです．美しく不思議な図形など数学的なトッピックスを集めた数理科学図鑑を作りたいものですね．

さらに，のぼさんは，数学論理と結びつきの薄い理科を学習する傾向のある（理科離れ）を嘆いています．私もそう思います．数学によってのみ外界（森羅万象の法則の起源）が認識できるといったのは，デカルト，ホッブスでしたね．

 

数学月間エッセイやエッセイに関する感想をお寄せください．

→SGK世話人：sgktani@gmail.com（谷）

申込み・問合せ先●
SGK世話人，谷克彦，sgktani@gmail.com，tel/fax03-3383-2978