SGK通信（2010-02）黄金比のパズル（解答・解説・余談）

●　「黄金比のパズル」（図3）.pdf
●　「黄金比のパズル」（図4）.pdf

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■解答：

 

「ハトメ返し」（広い意味で）による解答をご紹介します．
複数個の解答が見つかっていますが，「ハトメ返し」による解答は現時点では１個だけです．
 

正５角形（小）と９個の色つき多角形を，図３のように「ハトメ（鳩目）」でつなぎます
（Ａの角とＡの角をつなぎ，．．．，Ｉの角とＩの角をつなぎます）．
すると，「ハトメ返し」により，図４のように正５角形（小）を背後へ隠せます．

■解説１：
 
解説１・２では，正５角形（大）に外接する円をＯとし，円Ｏの中心をＰとします．
 

上記の解答により，
　　?［正５角形（大）の面積］＝［正５角形（中）の面積］＋［正５角形（小）の面積］
つまり
　　?［正５角形（大）の辺の長さ］の２乗
　　＝［正５角形（中）の辺の長さ］の２乗＋［正５角形（小）の辺の長さ］の２乗
が分かります．
そして，この等式?を使えば，ユークリッド『原論』第１３巻・命題１０の等式
　　?［円Ｏに内接する正５角形の辺の長さ］の２乗
　　＝［円Ｏに内接する正６角形の辺の長さ］の２乗＋［円Ｏに内接する正１０角形の辺の長さ］の２乗
を示すことができます．
 

実際，図１を観察することで
　　?［円Ｏに内接する正５角形の辺の長さ］＝［正５角形（大）の辺の長さ］
　　?［円Ｏに内接する正６角形の辺の長さ］＝［円Ｏの半径の長さ］＝［正５角形（中）の辺の長さ］
　　?［円Ｏに内接する正１０角形の辺の長さ］＝［正５角形（小）の辺の長さ］
が分かり，等式?を等式?に書き換えることができます！
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■解説２：
 
点Ｐから正５角形（中）の頂点へ線分（長・中・短）を引きます．
点Ｐが正５角形（中）の対角線の交点なので，
　　?［黄金長方形の長い辺の長さ］＝［線分（中）の長さ］
　　?［黄金長方形の短い辺の長さ］＝［線分（短）の長さ］
となるような黄金長方形を作図できます（このことはよく知られています）．
 
さて，図１を観察する（線分を平行移動させる）ことにより，
　　?［線分（長）の長さ］＝［正５角形（大）の辺の長さ］
　　?［線分（中）の長さ］＝［正５角形（中）の辺の長さ］
　　?［線分（短）の長さ］＝［正５角形（小）の辺の長さ］
が分かります．
従って，等式?を等式
　　?［線分（長）の長さ］の２乗＝［線分（中）の長さ］の２乗＋［線分（短）の辺の長さ］の２乗
に書き換えることができます（この等式はほとんど知られていないようです）．
そして，この等式?を使えば，?，?となるような黄金長方形に対する等式
　　?［黄金長方形の対角線の長さ］＝［線分（長）の長さ］
を示すことができます！

■余談：

 

「黄金比のパズル」が完成するまでの経緯を，簡単に記しておきます．

 

事の発端は，小梁修氏が日本数学協会・会員制掲示板へ投稿した等式?でした．
小梁氏は等式?を，正５角形の作図法について考えていたときに，発見・証明したそうです．
 

小梁氏と私は，等式?をめぐって，掲示板で数年間（断続的に）議論しました．

その結果，等式?とユークリッドの等式?との関連が分かり，

等式?の「正５角形（３個）の面積を使う」新（？）証明ができました
（ユークリッドの証明も小梁氏の最初の証明も「面積を使わない」証明でした）．

 

その後小梁氏は，「正５角形（３個）の面積を使う」証明をもとにして，パズルを作りました．
そのパズルでは，遊びを通して，等式?の証明が自然に学べるようになっていました．
そのパズルに刺激を受けた私が，

証明よりも遊びに重点をおいたパズルを作ろう！　と試行錯誤した結果，

「黄金比のパズル」が完成したのでした．
 

なお，「黄金比のパズル」を作る過程でこだわったのは，以下の２点でした：
　　●正５角形（大）の多角形への分割において，正５角形（小）が分割されないようにすること
　　●正５角形（大）の多角形への分割を，「ハトメ返し」で解答可能な分割にすること

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「黄金比のパズル」に対するコメントをお待ちしております

（コメント欄か谷克彦氏（ＳＧＫ世話人）までお願いいたします）．